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目的:

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研究複擺的行為及測定重力加速度g值。

實驗方法:

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使用光電閘與計時器測量凱特可倒擺Kater's reversible pendulum)進行微角度簡諧運動時的擺動週期。

▼擺錘的運動

來源:http://www.walter-fendt.de/ph14e/pendulum.htm

單擺實驗角度一定要小於五度嗎?


原理:

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考慮一任意形狀的物體如圖1,重心位於G處,總質量為M,以O1為支點懸置該物體,對一通過O1且垂直於擺動平面之軸的轉動慣量
這時重力Mg對支點O1所施加力矩之大小為h1O1G之距離,運動方程式可寫為
 
(1)


為角加速度。力矩項前所加的負號是因為重力產生的力矩方向有使擺接近中心點 (θ = 0)的趨勢,亦即θ>0時θ<0時
θ ≈ 0時,,(1) 式可寫為

(2)

解出此二階常微分方程,可得到

(3)

其中均是常數,由擺動開始的狀態決定。又cos(x)週期為2π,此物體做小角度擺動的週期T1,可由求得,即

(4)

再依據平行軸定理,我們可以把寫成, 為通過質心、轉軸的轉動慣量。式(4)可寫成

(5)

若我們將此物體倒過來,以圖中O2為支點做擺動,利用和前面相同的方式可推得擺動週期T2

(6)

將 (5),(6) 式平方後將消去可得

(7)

由(7),我們只要測得h1h2T1T2即可得g值。
若我們將h2取得恰到好處,使得T1=T2=T0,則(7)式變得更簡潔:

,即(8)

其中L=h1+h2O1O2兩支點間之距離,和G點位置無關。
又由(5)=(6),得

,簡化後得(9)

很巧的是假設我們把物體所有的質量放在O2,以O1為支點單擺的週期正好是(8)式中的週期



這樣O2就有些像單擺(線長為L)中之重物位置扮演的角色,我們稱O1為懸置中心,O2為振盪中心,h1+h2為迴旋半徑。若以O2為懸置中心,只要h1h2符合式(9),O1則成為振盪中心。由於此擺這種奇妙的特性,故稱它為"可倒擺"。

以"凱特可倒擺"來實驗的好處在那?
 

 


實驗儀器:

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平衡支架 光電計時器 凱特擺 量角器

 

凱特擺的構造如圖2。金屬桿的一端有一圓柱形之重物W,沿桿有一輕物B。在桿的兩頭各有一固定的刀口O1O2,兩刀口相向,其間距離使得懸掛在兩刀口的擺動周期非常的接近。為了使相對於兩刀口的振盪周期能校正完全相等,桿子上還附了可移動的滑體,可做重心的微調。

                 
影片下載 (儀器介紹)

 

 


實驗步驟:

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注意事項:

a.凱特擺須置於懸置支架上的凹槽內,避免掉落傷人。

b.由於θ大小會影響實驗的精確度,在作第二部分的實驗時,請注意每次振盪的振幅要保持固定。

c.由於複擺上的W質量極重,稍一移動即影響
質心位置,甚至導致找不出T1=T2的情況,因此未經助教允許,嚴禁移動其位置。

 

第一部份:探討擺動振幅對週期的影響

1.儀器架設如圖3。
2..將量角器固定於平衡支架前端,零點對準支點(如圖4)。


3.將光電計時器的Function選在Cycle的模式,並設定週期數為20週期(按住changover直至螢幕上的數字上升到20),以測量擺動20次的總時間。

4.從1度起逐次增加擺角θ,測量不同擺角時之擺動週期,其中擺角由1度增加到15度。1到5度間,每隔1度作一次測量,5度到15度間,每隔2度作一次測量。

5.將所測得的數據,在方格紙上繪製成T-θ圖。

影片下載 (儀器架設)


影片下載 (第一部分 )

第二部分:以複擺測定g

一、 T1 ≠ T2

1.將複擺平放在平衡支架上,找出重心位置G,測量的長度h1h2

2.將O1的刀口懸在懸置支架上,使其自由擺動,但擺幅不得超過5度,記算擺動20次的平均時間,即得擺動週期T1。重覆兩次,取其平均值。

3.再以O2為懸點,重覆步驟2,求得T2之平均。由式(7) 即可求得g值。

4.移動複擺上的滑體,改變重心位置,重覆上述步驟,求g之平均值。(用三個不同重心位置)



影片下載 (第二部分 )

二、曲線法

1.首先量得O1O2之距離L

2.先將擺之O1為懸點,用第二部分的步驟1.、2.方式測出重心至O1的距離h1及擺動週期,並陸續移動滑體 AA' 測量週期十次,每次滑體移動約7cm,在方格紙上畫出T1(h1)之曲線,如圖3所示。

3.再以O2為懸點,同法測其重心至O2的距離h2及擺動週期,並求得另一曲線T2(h2)=T2(L-h1)。若T1(h1)T2(L-h1) 兩曲線會交於一點T0,代入式 (8),求重力加速度g

實驗中的擺是左右對稱的,如果不是有無影響?


參考資料:

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1. Fundamentals of Physics, Fifth Edition ( by David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker)
2. University Physics, 12th ed (H. D. Young & R. A. Freedman,)
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Portal:Physics
4.物理雙月刊