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目的:

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觀察在繩上形成的駐波,進而研究繩張力與波長、線密度間的關係。

實驗方法:

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繩一端連接以訊號產生器驅動的振盪器,另一端掛重以提供繩張力,藉由調整振盪頻率、繩長或掛重使之產生一系列的駐波

▼駐波

來源:http://www.walter-fendt.de/ph14e/stwaverefl.htm




原理:

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一、駐波
描述波動的波函數通常可用來表示,其中,稱為波數(wave number);為波動的頻率,稱為角頻率(angular frequency )。之前若取負號,表示向正方向傳遞的行進波;取正號時則表示向負方向傳遞的波。表示對應的起始相位(initial phase)。由於。為了演算方便,我們往往採用複數來表示波函數。可是虛數是無法在實驗中量得的,因此運算完成之後取實數部份,即得到所要求的結果。設有兩列振幅、頻率完全相同的波沿相對方向在介質中行進,在某些特定情況下,當兩行進波重疊時會產生駐波(standing wave)。現在,我們以複數的方式來討論在一條兩端固定且張緊的弦線(或細繩)上,行進波產生駐波的條件。

假設在長度為的弦線上,有一個橫波(可藉音叉產生之)自處向方向傳遞(見圖1)。其數學形式可寫成:
 
(1)


式中為振幅,這個波傳遞至處時會產生一個反射波。如果在處是個固定端,波的能量可以完全反射(即不被吸收),反射波的振幅應該與前進波的相同,但是相位可能改變,故可將反射波表示為

(2)

弦線上的波是由前進波與反射波的線性重疊所形成,即

(3)

如果處是個固定端,表示,則,所以,可得

(4)

因此,我們可以將(3)式的波函數化簡為:

(5)

假定處也是個固定端,即,由此可得必須滿足的條件:

(6)

由於波數,所以在定長的弦上形成駐波的條件是,即弦線長為半波長的整數倍。此時合成波之數學形式為,取其實數部分,可將(5)式之波函數改寫為

(7)

式中為合成波的最大振幅。由(7)式可看出合成波在處產生節點(node),即弦線振動時,弦線上不隨時間移動位置的點是在處,弦上各質點隨著時間在之間做正弦變化的位移運動,稱為波腹(antinode),如圖2所示,圖中為節點,為波腹。



駐波的形成對訊號的傳遞是否有好處?

二、波傳遞的速率與弦線所受張力的關係:

以一個在弦線上傳送的脈波為例,弦線相對於靜止的觀測者並沒有移動,但觀測者看到脈波向右傳遞。現在想像成弦線很長,而且整個系統以脈波的速率向左平移,則觀測者所看到的現象如同脈波停在空間不動一樣,如圖3所示。設為此弦線單位長度的質量,弦線上張力使長為之弦線段做半徑為的圓周運動。圓周運動之向心力為,這裡討論的很小,亦即很小。

按照牛頓第二定律,向心力為長之弦線質量,即,故向心力
再由圖3知,因此

化簡後可得圓周運動之速率,即脈波傳遞之速率。

(8)

三、弦線振動頻率與其張力的關係:
假設線長為,在弦上生成的駐波段,則。由(波速=頻率×波長)的關係得:

(9)

若振動頻率是固定的,而且弦線單位長度的質量也固定,由(9)式知道

(10)

張力與波長平方的比值恆為一常數,這個關係在本實驗中可以驗證。



實驗儀器:

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滑輪 繩波振盪器 訊號產生器
三角底座 砝碼 砝碼吊盤
捲尺 連接線 電子秤

我們利用訊號產生器提供一交流訊號給繩波振盪器,其上之金屬片將以與所提供交流訊號相同的頻率振動。


影片下載 (儀器介紹)




實驗步驟:

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儀器的架設與設定:
1.取一段適當長度的弦線(不要短於1.3m),測量實際線長與質量,並計算此弦線的線密度 。
2.如圖4所示裝置儀器:
a.將滑輪固定在桌子邊緣,再將繩波振盪器置於距滑輪的適當距離處。(振盪金屬片上圓孔高度需與滑輪凹槽的最高點齊高,且金屬片指向滑輪凹槽,兩者相互平行。)
b.將弦線的一端綁在金屬片上(註),另一端繞過滑輪的最高點垂下,吊上砝碼吊盤。
c.利用BNC-香蕉接頭連接繩波振盪器的 「INPUT」與訊號產生器的 「OUTPUT」,並將訊號產生器接上電源。




影片下載 (儀器架設)

3.測量弦線從金屬片上打結處到滑輪最高點的長度L
4.訊號產生器操作面板如圖5所示。按下「POWER 」按鈕以開啟電源,選擇輸出波形為正弦波「」,頻率範圍選擇選在100「」(或10「」。)。



(I)平行振盪,求頻率與波速的關係
1.在砝碼吊盤中放入約50g的砝碼,再調整訊號產生器的「FREQUENCY」旋鈕,找出可在弦線上產生不同波數的駐波頻率。記錄繩張力波長與頻率
2.計算不同頻率時的波速,並作波速對頻率的關係圖。


影片下載 (第一部分)

(II)垂直振盪
1.改變振盪器之金屬片方向為與弦線垂直,其他條件不變,重複實驗(Ⅰ)的步驟1.。
2.與實驗(Ⅰ)作比較,要產生相同波長駐波所需提供的頻率是否一樣呢?


影片下載 (第二部分)

(III)固定頻率,求波速與繩張力的關係
1.回到振盪金屬片與弦線平行的狀態。
2.旋轉訊號產生器「FREQUENCY」旋鈕,調整頻率為約80Hz。
3.利用改變吊盤中砝碼重量的方式,找出當繩上出現駐波時,所需的繩張力
4.計算不同波長時的波速,並在全對數紙上畫出的關係圖,由圖中決定中之值,你所得之值和理論值誤差多少?並由值計算線密度,和你用電子秤測得之結果比較,相差多少百分比。

影片下載 (第三部分)

(IV)比較線密度與波速的關係
1.選取一段不同材質的弦線,測量實際線長與質量,並計算線密度。
2.如同之前的實驗裝置,重複實驗 (Ⅲ)的步驟。


影片下載 (第四部分)

(註)實驗過程中,請注意弦線與振盪金屬片連接處是否為一個點,如圖6之左,而非如圖6之右般地弦線隨金屬片振盪。為避免出現後者的情況,請

1.將弦線綁在金屬片上時,綁的結盡量簡單,不要綁太大或太複雜的結。譬如兩個平結即可。且弦線從結連出來的方向要直接朝向滑輪,不要有複雜的扭轉。

2.若第1點做到了,仍出現如圖6之右的情形,則可藉由調整掛重、繩長或振盪頻率的方式,做到如圖6之左的樣子。

3.如果已做到第1.點,也嘗試過第2點的方法,但靠近振盪器那邊的節點仍不理想時,請將這個因素放在實驗誤差中討論。



參考資料:

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1. Fundamentals of Physics, Fifth Edition ( by David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker)
2. University Physics, 12th ed (H. D. Young & R. A. Freedman,)
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Portal:Physics
4.物理雙月刊