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目的:

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測量彈性體的彎曲程度,再推算出彈性體之楊氏係數,並比較材質、幾何形狀與楊氏係數間的關係。

實驗方法:

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將彈性體受一鉛直力作用而彎曲,再用測量微位移的光槓桿之方法得到此變化量。

          還有其他測量微位移的方法嗎?


原理:

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一、楊氏係數

先考慮兩種物體受外力的情形。如圖1a.,只有一面受力,很顯然的此物體會逐漸地向右方加速移動,而物體內各部分的相對位置並無改變;而圖1b.則不同,物體的兩面受到方向相反大小相同的力,兩力的合力為0,因此原來靜止的物體不會移動,但物體的形狀大小可能就有變化了。例如你用兩掌壓麵包,只要這麵包沒什麼稀奇古怪,它所產生的形變是很明顯的。

 

當然我們對壓麵包的興趣不大,我們要研究的是受壓後可復原的彈性體。圖1b.的彈性體受力後沿力方向會變得比較短,和力垂直的方向可能變得比較寬(你可以想像用兩手壓一個氣球的情形)。這些彈性體的變化我們用 "應變"(strain)來表示,而我們所施加於物體的力則以 "應力"(stress)來表示,沿力方向的應變定義為,應力定義為,其中為原長度,為其變化量,是受力面積。彈性體的特性是應變和應力成正比(可看成是較廣義的虎克定律),即

(1)

比例常數Y和彈性體的特性有關,我們稱為楊氏係數(Young' s Modulus)。楊氏係數和彈簧的彈性係數有些類似,又不完全一樣(想一想二者之單位)。

二、受壓的橫樑:
現在我們考慮一個較複雜的情形:如圖2a.,一橫樑受一鉛直力作用而彎曲,當消失時橫樑可復原,即受力不可超過彈性限度。
仔細觀察圖2a.中被壓之樑,會發現樑上層互相壓迫而收縮,下層則伸張,介於其間必然有一層不縮不張,保持原有長度(如圖2a.中之虛線所示),稱為中性層(Neutral layer);曲線稱為彈性曲線(elastic curve),我們重新畫在圖2b.中。兩支持物的距離為,我們用中心點之偏離距離表示彎曲的程度。

為了更容易瞭解彎曲樑各部分受力情形,我們將局部的橫樑用如圖3的彈簧平板模型來做近似模擬。圖3b.中,代表中性層的彈簧長度不變,上層彈簧縮短,下層則伸長,各部受力的情形也可清楚地看出來。當彈簧的彈性係數很大時,壓縮和伸長較困難,因此彈簧平板模型要如圖3b.般彎曲也較不容易,這情形對應到若我們考慮的物質有很大的楊氏係數,則不易彎曲。

由仔細地分析圖2受力的情形,我們可以解出橫樑彎曲的程度楊氏係數的關係(推導詳見附錄)如下:

(2)

其中分別為橫樑之厚度及寬度。式中很清楚地表示彎曲的程度和成反比,同時也和樑之寬度成反比,有趣的是卻和的三次方成正比!

你認為楊氏系數和彈性系數有何異同?

(資料來源:科學發展2002年2月,350期)


實驗儀器:

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光槓桿 捲尺 望遠鏡
測定實驗台 砝碼 砝碼吊盤



影片下載 (儀器介紹)


儀器架設:

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圖5a.,我們將實驗裝置中最重要的部分顯示出來,包括光槓桿 (Ⅰ),一支撐光槓桿之金屬條(Ⅱ)和一待測定之金屬條(Ⅲ),以及待測物連結著勾盤 (Ⅳ),上可置砝碼。光槓桿是由一平面鏡固定在三腳支架上構成,前兩腳置於(Ⅱ) 上,後腳則置於(Ⅲ)上。當我們加砝碼使(Ⅲ)向下彎曲時,光槓桿會向後傾斜。假如有一固定光束射入光槓桿的平面鏡,若其向後傾斜的角度為θ,則反射光束將轉動2θ角,這是光槓桿很重要的特性。

圖5b.是實際量測情形的示意圖,當反射鏡M轉θ,反射光則轉動2θ角,因此望遠鏡內看見米尺的刻度已不再是原先的位置s ,而是移動h刻度的位置s′ 。假設光槓桿前兩腳與後腳之垂直距離為a,反射鏡M與米尺間之距離為d,當金屬橫樑懸掛重物時凹下的距離為H,則由圖5b. 知:

               

    
 所以  。       (3)
式(3)代入式(2)得

                   ,其中為砝碼(含勾盤)重;

所以      。      (4)

 



影片下載 (儀器架設)


實驗步驟:

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注意事項:

a. 實驗過程中,妥善保存鏡頭蓋子;實驗完成後還原於鏡頭上,勿損毀或遺失。

b. 光槓桿置於架子上時,須確定穩固,避免掉落。

1.以米尺量兩刀口間的距離L,以游標尺量得棒寬w及棒厚t

2.將光槓桿在紙上印成三足尖之小孔,量得後足尖至前兩足尖連線之垂直距離a,並置其後足尖在待測金屬棒兩刀口中點。

3.調整望遠鏡與鏡面在適當距離d(約在1.5米處),轉動目鏡至十字線清晰,再伸縮望遠鏡筒,使米尺上刻度能夠明顯地映在十字線上,讀取此時無負荷時所見米尺的刻度,記為h0

:你覺得d多大比較適合?

影片下載 (量測參數)


影片下載 (調望遠鏡)

4.每次增加200g槽碼,直至1000g為止,依次記錄望遠鏡中尺像的位置h1h2h3h4h5

5.然後再將負荷依次減少,同樣記其位置


影片下載 (增加減少槽碼)

6.取hi' 之平均值。式(4)中之hM分別用代入,求出楊氏係數Yi

7.由實驗所得之數據平均值及砝碼重量,在方格紙上畫出Mi+1YiMi圖。

8.在方格紙上畫出ΔhiMi圖,並由圖中計算楊氏係數

9.更換待測金屬棒,重複以上步驟。


影片下載 (換不同待測物)

附表:固體之楊氏係數 Y(×1011dyne / cm2)

物質

鑄鐵

鍛鐵

鋼鐵

黃銅

青銅

97%

楊氏係數

10~13

19~20

19.5~20.6

12.3~12.9

9.7~10.2

8.08

20.2



參考資料:

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1. Fundamentals of Physics, Fifth Edition ( by David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker)
2. University Physics, 12th ed (H. D. Young & R. A. Freedman,)
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Portal:Physics
4.物理雙月刊