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扭擺與轉動慣量

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目的:

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研習扭擺的運動原理,及各項變因對其週期的影響,並利用扭擺測量物體的轉動慣量與鋼絲的剛性係數(modulus of rigidity)。


實驗方法:

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使用光電閘與計時器測量物體作扭擺運動時的擺動週期。


原理:

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一、角動量(angular momentum)和 轉動慣量(moment of intertia) 

如果一個物體在運動時受到了束縛,必須繞著一個固定的點運動時,這時候質點到固定軸的距離就顯得相當地重要,這種繞固定軸轉動的運動機制,我們定義了一種符號,即是動量的對應量,稱為角動量

                 (1)

其中,: 質點到固定軸的距離,:質點的動量。 

 如圖1,當僅有一個質點繞固定點轉動時 , ,則(1)式可寫為

        (2)

           (3)

在曲線和平移的運動中,角動量和動量相對應,角速度和平移速度相對應,因此由(3)式可簡單得知: 所扮演的角色應和相對應。 由於為慣性動量,而是和轉動有關的量,因此一般稱為轉動慣量。所以(3)式可寫為

,其中           (4)

轉動

(角動量)

(角速度)

(轉動慣量)

平移

(動量)

(速度)

(慣性質量)

   
表1

若有很多質點繞固定點轉動,則轉動慣量

     (5)

其中為質點到轉軸的垂直距離。

若物體為連續,則式(5)可表示為

                (6)

一般說來這是個積分式,但幾何形狀規則對稱的剛體,積分可以簡化,甚至不需要積分,即可由(6)式根據其幾何形狀及質量計算出轉動慣量。然而不規則形狀的剛體,則無法容易地計算出來,因此便有各種不同的轉動慣量量測方法。其中可利用的較簡單方法為扭擺。 

二、扭擺

用懸絲繫住一個剛體,讓剛體在懸絲的彈性恢復力矩作用下,繞鉛錘軸線來回扭動,這種裝置就叫做扭擺。

如圖2,物體為一鋼絲所繫住,以此線為軸,當物體被扭轉一微小角度時,鋼絲因為此角度扭轉而施予此物體一力矩,其大小與扭轉角度成正比,方向為減小此扭轉角度的方向。我們定義此比例常數為,則當此扭擺系統扭轉角度時,回復力對圓心造成之力矩可寫為(類似彈簧系統中力與壓縮位移成正比關係)。

此扭擺系統所滿足的運動方程可寫為

,其中            (7)

為此系統對中心軸的轉動慣量,包括鋼絲與圓盤的轉動慣量之和,由於前者比後者小得多,因此鋼絲的轉動慣量通常可以忽略。滿足此微分方程之解的一般形式為

                        (8)

其中為常數,必須由起始條件決定。總之,是一個週期函數,我們可進一步看出它的週期為                           (9)

因此轉動慣量

                              (10)

由(10)式可知扭擺的週期提供了一種測量剛體轉動慣量的方法。

還有其他測量轉動慣量的方法嗎?

三、切變剛性係數

造成扭擺系統呈週期運動的主要原因為鋼絲因形變所產生的恢復力,為進一步探討此運動與鋼絲特性的關係,我們可自認識物體形變開始。通常物體受外力作用時,都可能會發生形變。所謂形變,係指物體在大小或形狀方面的變化。對一個完全彈性物體而言,一旦除去外力,它就會回復原來的形狀或位置,當然我們必須限制外力的大小,否則會產生永久變形,甚至破裂。我們把不使物體發生永久形變的最大外力,稱為「 彈性限度 」(elastic limit)。

形變的量通常用「 應變 」(strain)來表示。簡單地說,應變就是物體大小或形狀上增減的量除以變化前的值。例如:用手拉原長 之彈簧,使其伸長 ,則應變,在此可解釋為單位長度之伸長量。

應變是物體受應力(stress)的結果,一般應力可分為三種,如圖3 所示,(1) 拉伸應力(tensile stress),(2) 切應力(shear stress),(3) 流體應力(hydraulic stress)。這些不同的應力作用於彈性體所產生不同的應變可由圖3 中清楚看出。應力大小是用單位面積上的作用力表示,即

彈性物體在彈性限度內有一個重要的性質,那就是無論彎曲、扭轉、壓縮或伸長,力與形變的比值恆為常數。換句話說,也就是在彈性限度內,應力和應變之比值為一定數 e,這就是虎克定律(Hooke's law): ,其中 e 稱為彈性係數(modulus of elasticity),它的值隨物體的性質而異。

本實驗所用到的是切應力(shear stress)與切應變(shear strain)的概念,這裡我們略加介紹。

先考慮一個長方塊,假想它是由多層物質連續重疊組成,各層均受切線方向的表面力而發生水平位移,見圖4。上表面受到切線方向的力 作用,下表面受另一力 ,與 大小相等、方向相反。這時長方塊所受的切應力(沿切線方向每單位面積所受到的力)可寫為                               (11)

長方塊上表面相對於下表面有一位移,故其單位長度所產生的側向形變量(亦稱切應變)為

                      (12)

其中稱為切變角(angle of shear)。在彈性限度內,通常很小,所以,我們可以定義切變剛性係數(shear modulus)

      (13)

再考慮此扭擺系統,一長為半徑為R的均勻圓柱體鋼絲,上端固定並垂直懸掛,只在下端受一外加力矩作用,使此圓柱扭轉,見圖5(a)。假設未扭轉時圓柱上的鉛直線段 AB,在扭轉後移至 AC,圓柱上的角 BAC,而底面上弧 BC 的圓心角為,則我們可以得到下列近似關係式:

 ; 弧圓柱扭轉形變量

外加力矩的大小除了與單位長度的扭轉形變量成正比(於彈性範圍內)外,也與被扭轉形變物體的幾何形狀有關,因此我們可寫為

                             (14)

式子中為與物體的幾何形狀有關的特性(一般稱為polar moment of inertia)。對實心的圓柱體而言,其(詳細推導見本章附錄),所以力矩大小可寫為

    

因此切變剛性係數(shear modulus)

                             (15)


儀器架設:

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影片下載(儀器介紹)

影片下載(儀器架設)

在本實驗中,鋼絲下懸著一基座,另有一個圓盤可水平置於此基座上,及一個圓環可鉛直懸於此基座下,見圖7(a)、(b)、(c)。基座之轉動慣量為;圓盤之質量,半徑r;圓環之質量,內徑c,外徑,厚度

   

在下列三種情形下,分別使扭擺做扭轉的簡諧運動。(忽略鋼絲之轉動慣量)

(一)基座上不置任何物體,週期                  (16)

(二)將圓盤放置如圖7(b),週期                (17)

為圓盤以通過圓心且與圓盤面垂直的軸轉動時的轉動慣量。由理論上的計算,可得

                                  (18)

(三)圓盤取下,將圓環與鋼絲平行懸掛如圖7(c)。週期      (19)

為此時圓環的轉動慣量,理論上為

                           (20)

試推導

從 (16)、(17) 式可得到

                               (21)

                              (22)

再將(21)、(22)式代入(19)式,則 

                 (23)

我們只要測知圓盤的尺寸r,便可由 (23) 式算出值。

 


 

 


實驗步驟:

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注意事項:
a.鋼線長度要為適宜(可使扭擺下垂下後,距地面約 20 公分),長度不夠者,向老師請求更換。

b.實驗後,將圓環取下置於實驗桌上,扭擺底座與鋼線仍置於牆壁上,勿私自取下。

第一部份:測量最大扭角與最大角速度之關係

  1. 如圖6 裝置,使基座保持在水平面上。
  2. 待扭擺靜止置平衡位置後,調整地上角度計之方向,使擺上凸出的遮光片指向0°,並將光電閘對準遮光片。
  3. 將光電計時器調在 Function 6 的模式,並設定次數為5,用以量測擺動在平衡位置之瞬時角速度,亦即擺動過程中之最大角速度
  4. 將扭擺旋轉225°後放手,使其自由轉動。測量紀錄每次遮光片遮住光電閘的時間。並記錄下測量5次(即2個週期)所花的總時間,藉以計算平均週期
  5. 逐次減少旋轉角度為180°、135°、90°、45°,重覆步驟4。
  6. 測量遮光片的寬度、光電閘到扭擺中心的距離 r。以此計算角速度
  7. 將實驗結果繪成關係圖。

關係圖的斜率代表什麼意義。

影片下載(實驗步驟一)

第二部分:轉動慣量之量測

  1. 將光電計時器調在 Function 5 的模式,並設定次數為8,以測量轉動4次的總時間,並算出平均週期。
  2. 如圖7 (b) 裝置,使圓盤保持在水平面上,以 90°的角度轉動,測其轉動4次的時間,再除以 4,即為週期。重覆3次,取其平均值。
  3. 如圖7 (c) 裝置,使圓環鉛直懸掛,仍以90°的角度轉動,量週期。重覆3次,取其平均值。
  4. 量度圓盤的質量及直徑,以求得 r的數值。
  5. 代入(23)式中求值(即圓環的轉動慣量),並將實驗值與理論值比較,求百分誤差 。
  6. 圓環取下,將實心圓柱對稱放置在基座的兩邊,重複步驟3、5。
  7. 移動圓柱,改變圓柱與基座中心的距離L,重複步驟3、5。
  8. 代入(23)式中求值(即兩圓柱的轉動慣量),並將實驗值與理論值比較,求百分誤差 。
  9. L值當橫座標,值當縱座標繪製曲線。

影片下載(實驗步驟二)

第三部分:切變剛性係數之量測

1.用螺旋測微器量鋼線半徑,重覆在不同位置測量五次,取其平均值,並用米尺量鋼線的長度
2.代入 (15) 式中求值(即鋼線的剛性係數),並將實驗值與理論值比較,求百分誤差。


參考資料:

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